Ecuaciones diferenciales por el método separación de variables.

Concepto:

si la ecuación diferencial tiene la siguiente forma es una ecuación que permite la separación de las variables de forma independiente.

g(x)=h(y)\cdot \frac{dy}{dx}

Formalmente la ecuación diferencial se puede separar las variables, de tal manera que al lado izquierdo nos quedarían la función con el diferencial de X y a lado derecho nos quedaría la función de Y con el diferencial de Y.

g(x) dx=h(y)dy

Una vez separado las variables se puede integrar los dos lados de la igualdad y nos quedaría la solución de la ecuación diferencial.\int g(x) dx=\int h(y)dy

Ejemplos 1:

y’+ \sin(x)\cdot y =0
Pasos 1: primero expresamos el diferencial de X y en diferencial de Y
\frac{dy}{dx}+ \sin(x)\cdot y =0
Paso Dos: Aplicando las propiedades separamos las variables de tal manera que nos queda la función con el diferencial correspondiente.
\frac{1}{y}dy=-\sin(x)dx
Paso tres: integramos los dos lados de la igualdad tomando en cuenta que la integral de uno sobre y es igual a logaritmo natural de y
\ln(y)=\cos(x)+c
Paso cinco: despejamos la variable Y, para ello aplicamos el exponencial ya que el exponencial es el inverso de logaritmo natural y se puede simplificar de tal manera que podemos nosotros despejar la variable Y.
e^{\ln(y)}=e^{\cos(x)+c}
y=e^{\cos(x)+c}
Paso seis: en el segundo lado de la igualdad aplicando las propiedades de la potenciación podemos determinar una nueva constante que equivaldría  a k=e^c.
y=e^{\cos(x)}\cdot e^c
y=e^{\cos(x)}\cdot k
y=Ke^{\cos(x)}