Ecuaciones diferenciales por el método separación de variables.

Concepto:

si la ecuación diferencial tiene la siguiente forma es una ecuación que permite la separación de las variables de forma independiente.

$$g(x)=h(y)\cdot \frac{dy}{dx}$$

Formalmente la ecuación diferencial se puede separar las variables, de tal manera que al lado izquierdo nos quedarían la función con el diferencial de X y a lado derecho nos quedaría la función de Y con el diferencial de Y.

$$g(x) dx=h(y)dy$$

Una vez separado las variables se puede integrar los dos lados de la igualdad y nos quedaría la solución de la ecuación diferencial.$$\int g(x) dx=\int h(y)dy$$

Ejemplos 1:

$$y’+ \sin(x)\cdot y =0$$
Pasos 1: primero expresamos el diferencial de X y en diferencial de Y
$$\frac{dy}{dx}+ \sin(x)\cdot y =0$$
Paso Dos: Aplicando las propiedades separamos las variables de tal manera que nos queda la función con el diferencial correspondiente.
$$\frac{1}{y}dy=-\sin(x)dx$$
Paso tres: integramos los dos lados de la igualdad tomando en cuenta que la integral de uno sobre y es igual a logaritmo natural de y
$$\ln(y)=\cos(x)+c$$
Paso cinco: despejamos la variable Y, para ello aplicamos el exponencial ya que el exponencial es el inverso de logaritmo natural y se puede simplificar de tal manera que podemos nosotros despejar la variable Y.
$$e^{\ln(y)}=e^{\cos(x)+c}$$
$$y=e^{\cos(x)+c}$$
Paso seis: en el segundo lado de la igualdad aplicando las propiedades de la potenciación podemos determinar una nueva constante que equivaldría  a $$k=e^c$$.
$$y=e^{\cos(x)}\cdot e^c$$
$$y=e^{\cos(x)}\cdot k$$
$$y=Ke^{\cos(x)}$$