Una masa 𝑚 oscila con movimiento armónico simple sujeta a un resorte de constante 𝑘. La amplitud de la oscilación es 𝐷. Cuando la masa está en la posición 𝑥 = 𝑑/2 (y moviéndose hacia la derecha) choca y se pega a otra masa 𝑚. La velocidad de la masa resultante 2𝑚 justo después de la colisión es la mitad de la velocidad de la masa en movimiento 𝑚 justo antes de la colisión. ¿Cuál es la evolución dinámica 𝑥(𝑡) resultante? ¿Cuál es la amplitud de la nueva oscilación?
Datos:
$Masa_1=m$
$\text{Constante de resorte}=k$
$Amplitud=D$
$Posición =\frac{d}{2}$
$Velocidad resultante v_{2m}=\frac{v_m}{2}$
$x(t)=?$
Amplitud =?
PASO 1: representar gráficamente el problema.
PASO 2: Determinar las coordenadas generalizadas
$$q=(x,y,z)$$
donde:
$y=0$
$Z=0$
$$\vec{r}=\left( x,0,0\right)$$
Paso 3: determinar la velocidad generalizada para ello derivar el vector posición
$$\dot{r}=\dot{x}$$
- $\text{Velocidad antes de la colisión}\ v_{2m}=\frac{v}{2}$
$$v_m=\dot{x}$$
- Velocidad después de la colisión
$$v_{2m}=\frac{\dot{x}}{2}$$
Paso 4: Planteamiento del problema
$$w^2=\sqrt{\frac{k}{m}}$$
Paso 5:Ecuación general del movimiento
$$\frac{d^2x}{dt^2}=-R-S+G(t)$$
Dónde:
$R=0$
$G(t)=0$
$$m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$
$$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}=0$$
$$\frac{d^2x}{dt^2}+w^2=0$$
Paso 6: resolver la ecuación diferencial, utilizamos $x=e^{\lambda t}$
Derivamos
$x=e^{\lambda t}$
$x’=\lambda e^{\lambda t}$
$x’’=\lambda^2 e^{\lambda t}$
$$\lambda^2 e^{\lambda t}+w^2 e^{\lambda t}=0$$
$$\lambda^2+w^2=0$$
$$\lambda=\pm iw$$
Solución generalizada para el movimiento armónico
$$x=e^{\pm iwt}$$
$$x=D\cos(wt-\gamma)$$
Paso 7: Hallar la velocidad para ello derivamos el vector posición
$$\dot x=D\cdot w\sin(wt-\gamma)$$
Aplicando la propiedad de la potenciación y la radicación tomando en cuenta que los dos operadores son opuestos podemos elevar a la potencia y sacar la raíz cuadrada para que no altere la igualdad
$$\dot x=\sqrt{D^2\cdot w^2\sin^2(wt-\gamma)}$$
$$\dot x=w\sqrt{D^2\sin^2(wt-\gamma)}$$
$\sin^2x+\cos^2x=1$
$$\dot x=w\sqrt{D^2(1-\cos^2(wt-\gamma))}$$
Hallar la velocidad antes de la colección para ello reemplazando el vector posición en la ecuación nos quedaría de la siguiente forma:
$$\dot x=w\sqrt{D^2-x^2}$$
$$\dot x=w\sqrt{D^2-\frac{D^2}{4}}$$
$$\dot x=\frac{\sqrt{3}}{2}wD$$
La velocidad después de la coalición nos quedaría de la siguiente manera
$$\dot x_{2m}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}wD}{2}$$
$$\dot x_{2m}=\frac{\sqrt{3}wD}{4}$$
Paso 9 :Combinamos la frecuencia angular antes del choque y después del choque
- Antes de la colisión
- Despuésde la colisión
$$w’=\sqrt{\frac{k}{2m}}$$
$$w’=\frac{1}{\sqrt 2}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
$$w’=\frac{1}{\sqrt 2}w$$
Paso 10: Igualamos las dos velocidades lineales y despejamos la amplitud
$$ \dot x_{2m}=\frac{\dot x}{2}$$
$$\frac{\sqrt{3}wD}{4}=w’ \sqrt{D’^2-\frac{D^2}{4}}$$
$$\left[\frac{\sqrt{3}wD}{4}\right]^2=\left[ \frac{1}{\sqrt 2}w\cdot \sqrt{D’^2-\frac{D^2}{4}}\right]^2$$
$$\frac{3w^2D^2}{16}=\frac{1}{2}w^2\cdot D’^2-\frac{D^2}{4}$$
$$\frac{3D^2}{2}=4D’^2-D^2$$
$$\frac{3D^2}{2}+D^2=4D’^2$$
$$\frac{5D^2}{2}=4D’^2$$
$$\frac{5D^2}{8}=D’^2$$
$$\sqrt{\frac{5D^2}{8}}=\sqrt{D’^2}$$
Paso 11: La nueva amplitud después de la colisión será igual a la ecuación de D’
$$\sqrt{\frac{5}{8}}D=D’$$
Paso12: Reemplazamos los datos obtenidos después de la colisión en la ecuación del movimiento armónico simple característico
$$x=D’\cos(w’t-\gamma)$$
$$x= \sqrt{\frac{5D^2}{8}}\cos(\frac{1}{\sqrt 2}t-\gamma)$$
$$\frac{D}{2}= \sqrt{\frac{5}{8}}D\cos(\frac{1}{\sqrt 2}t-\gamma)$$
$$\frac{1}{2}= \sqrt{\frac{5}{8}}\cos(\frac{1}{\sqrt 2}t-\gamma)$$
Paso 14:Si en el instante en que se da la colisión el tiempo igual a cero entonces el ángulo de desfase sería
$$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{8}{5}} =\cos(\gamma)$$
$$\gamma =\cos^{-1}\left[\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{8}{5}}\right]$$
$$\gamma=50,76^o$$
Paso 15: La nueva ecuación después de la colisión del movimiento armónico simple queda de la siguiente manera
$$x(t)=\sqrt{\frac{5}{8}}D\cos\left[\frac{w}{\sqrt 2}t + 50,76^o\right]$$
Gracias por ser parte de Fismatt
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